Rasyonel Sayılar Ve Özellikleri

Rasyonel Sayılar Ve Özellikleri

A)Rasyonel Sayılar Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denir.Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.
ÖR:
Yandaki şekilde,bir bütün 4 eş parçaya
bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi . taranmıştır.

Taralı bölge,bütünün üç tane parçası(kesri)dir.Bu parçaları belirten kesir, 3 biçiminde gösterilir.
4
3 kesrinde 3’e pay,4’e payda denir 3 kesri, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

NOT
Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.

Q = Q- U {0} U Q+

-1-
B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük küçüklük)
1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür.

ÖR 15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20

Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Payı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür.
ÖR 15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20

2-Payları eşit olan rasyonel sayılar Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.

ÖR 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9

Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Paydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür.

ÖR 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 9 5 3

3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır.
ÖR 18 , 7 , 48 183=6 48 7 18
3 4 57 74=1,75 57 4 3
4857=0,84

-2-
Arada olma
iki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir.
ÖR 2 ile 4
3 5

I.YOL 2 4 IIYOL2 4 III.YOL 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2

1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30

ÖR 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12

1 29 29
2 12 24

5 29 7
4 24 6
C-irrasyonel sayılar
Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan

gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.irrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.

Gerçek (reel) sayılar kümesiRasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek

sayılar kümesi ,sayı ekseninin her noktasını doldurur.Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir.
Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.

2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA iŞLEMi
a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenir.Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.

Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

ÖR +3 +7 +3 +35 +3 +38
5 1 5 35 3 5

b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

ÖR 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60

+20+24+(-15)
60

+44+(-15)
60

29
60

-4-
3-RASYONEL SAYILAR KÜMESiNDE TOPLAMA
iŞLEMiNiN ÖZELLiKLERi

a)Kapalılık özelliğiiki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

ÖR – 2 + 2 -4 +2 -2
3 6 6 6 6

b)Değişme özelliğiRasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR -4 +1 -8 +7 -1
7 2 14 14 14

+1 -4 +7 -8 -1
2 7 14 14 14

-4 +1 +1 – 4
7 2 2 7

c)Birleşme özelliğirasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

ÖR 4 3 1 4 4 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 7 1 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 4 3 1
5 5 5 5 5 5

-5-
d)Etkisiz (birim) eleman özelliği”0”tam sayısına,rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
ÖR -7 -7 -7 -7
9 9 9 9

buna göre
-7 -7
9 9

e)Ters eleman özelliğiToplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

ÖR +5 -5
20 20

-5 +5
20 20

4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA iŞLEMi
iki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.

ÖR +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
5 6 5 6 30 30 30

ÖR +7 +5 +7 +25
10 2 10 10

+7 -25 -18
10 10 10

-6-
Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA iŞLEMi
iki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır

NOT
Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.

Yani
+ x + = +
– x – = +
– x + = –
+ x – = –

ÖR -4 +3 (-4)x(+3) -12
1 4 1 x 4 4

NOT
Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.

6-RASYONEL SAYILAR KÜMESiNDE ÇARPMA
iŞLEMiNiN ÖZELLiKLERi
a)Kapalılık özelliği
iki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

ÖR +3 -2 -6
4 3 12

-7-
b)Değişme özelliği Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR -19 -1 +19
20 3 60

-1 -19 -19
3 20 60

c)Birleşme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR +3 -2 +1 -6 +1 -6
1 3 5 3 5 15

+3 -2 +1 +3 -2 -6
1 3 5 1 15 15

d)Yutan eleman Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.

ÖR -7 -7
9 9

e)Etkisiz birim eleman
+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

ÖR +4 +4 +4 +4
3 3 3 3

-8-
f)Ters eleman
Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

ÖR +2 +3 2 x 3 +1
3 2 3 x 2 1

g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

ÖR +1 +2 +1 +1 +3 +3
2 4 4 2 4 8

+1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
2 4 4 2 4 2 4

+2 1 +3
8 8 8

h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
ÖR 1 2 1 1 1 1
2 4 4 2 4 8

1 2 1 1 2 1 1
2 4 4 2 4 2 4

7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME iŞLEMi
iki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.

NOT
Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitifters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

Yani + x + = +
– x – = +
– x + = –
+ x – = –

ÖR -3 +2 -3 +4 -3
4 4 4 2 2

+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

ÖR -2 1 -7 -7
7 1 2 2

(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.

ÖR 12 +17 17
17 12 12

-10-
Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.

Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.

ÖR -2 -2 1 -2 1 -2
7 7 1 7 1 7

ÖR -2 -2 -1 -2 -1 2
7 7 1 7 1 7

NOT
Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.

Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü taımsızdır.
Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi ”bölünen = bölen x bölüm” ilişkisi vardır.

NOT
Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.

NOT
Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.

NOT
Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur