Karmaşık Sayılar Nedir

Karmaşık Sayılar Nedir

a ve b gerçel sayı ve i, -l’in karekökü olmak üzere a+ib şeklinde yazılabilen sayılar. Burada a, karmaşık sayının gerçel kısmını ve b sanal kısmını teşkil eder. Tarihi Negatif sayıların bulunmasından sonra, matematikçiler karesi negatif sayı olan sayıyı aradılar. ilk matematikçiler böyle bir sayının mevcut olmadığı sonucuna vardılar. 1637’de René Descartes bu tür sayıların varlığına dikkati çekmiştir. 1777’de Leonhard Euler günümüzdeki i sayısını sembol olarak kullanmıştır. Karmaşık sözü ilk defa Gauss tarafından verilmiştir. Elektrik ve mağnetizmanın matematiksel ifadesinde karmaşık sayılar çok önemli rol oynamaktadır.

a+ib ve c+id olarak verilen iki karmaşık sayının gerçel ve sanal parçaları ayrı ayrı birbirine eşitse, yani a= c ve b= d ise, bu sayılar birbirlerine eşit olurlar. Bu sayıların dört işlemi aşağıdaki gibi tarif edilmiştir

• (a+ib) + (c+id)= (a+c) + i (b+d)
  (a+ib) – (c+id)= (a-c) + i (b-d)
  (a+ib) (c+id) = (ac-bd) + i (ad+bc)
• a+ib ac+bd bc-ad
  … = … +i …
• c+id c2+d2 c2+d2

Bu özellikler i2= –1 kabul edilerek doğrudan doğruya çıkarılabilir. Karmaşık sayıların dört işlemi, gerçel sayılarınkinin genelleştirilmesinden ibarettir. Bir farkları, büyüklüklerine göre sıraya konulamazlar.

– Bir z = x + iy karmaşık sayısının, karmaşık eşleniği z = x – iy olarak tarif edilir. Karmaşık sayının mutlak değeri veya modulü

olarak tarif edilir.

Karmaşık sayılar gerçel parçası yatay eksen üzerinde, sanal parçası düşey eksen üzerinde olmak üzere dik koordinat takımını kullanarak düzlemde gösterilebilir. Bu düzleme karmaşık düzlem denir. Böylece her sayı, düzlemde bir noktaya karşı getirilir. Karmaşık sayılar, dolayısıyla bu düzlem üzerindeki noktalar, kutupsal koordinatlar kullanılarak da gösterilebilir. Noktanın başlangıç noktasına olan mesafesi r ve bu doğrunun x ekseni ile yaptığı açı . ile gösterilirse z= x + iy şeklindeki bir karmaşık sayı z = r (cos.+i (sin.) olarak da yazılabilir. 1748’de Leonhard Euler’e dayanan diğer bir gösterim de z = rei. şeklindedir. Bir gösterim ile bir karmaşık sayının kuvveti zn= (rei.)n= rnein.= rn (cosn.+i sin n.) olarak kolayca belirlenir. n, mertebe kökü ise k= 0,1,2,…, n-1 olmak üzere

• cos .+2k..+2k.
• Zl/n= rl/n ….. + i sin ….n n

şeklinde belirlenir.