Pi Sayısı Nedir

Pi Sayısı Nedir, Pi sembolü, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre çember anlamına gelen perimetier kelimesinin de ilk harfidir. isviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı. Leonard Eulerden önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Eulerden sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.

Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828… sayısı için, L. Eulerin kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir. Gene, karekök içinde -1 imajineri için de, L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir.

insanoğlu daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerleğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların gözbebekleri ile gökyüzündeki Güneş ve Ayda görüyordu. Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Sonra düşündü bazı daireler küçük, bazıları ise büyük.

Görüyordu ki sezinliyordu ki, dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı çapı, büyürse, çevresi de o kadar büyüyordu. Sonra gene düşündü, cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı. Dairenin çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu. Demek ki bugünkü gösterim şekliyle, bu sabit orana dersek Çevre/Çap = sabit. Şeklinde yazılabiliyordu.

Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu Pi sayısı ait ilk bilgilerin Eski Mısırlılarda mevcut olduğunu görüyoruz. Mısırlılar, yüzey ve hacım hesapları yaparken, sayısına ait yaklaşık değer kullanmışlardır.

Eski Mısırlılardan kalma, bazı papirüslerin, özellikle, Rhind Papirüsünün değerlendirilmesi sonucu, daire alanı için, bugünkü gösterim şekliyle

• A = [1-1/9]2 .R2 1

Formülünü kullandıkları anlaşılmaktadır. Burada R yarı çapı göstermektedir.

Bu formül, yarıçapı cinsinden düşünüldüğünde, bugünkü gösterim ve düşünce şekline göre

• .r2 = 8/92 .R2 2

Şeklinde yazılabilir. Burada, 1 birim yarıçaplı çember düşünerek, r ve R için bilinen değerleri yazarsak

= 4.8/92 = 16/92 3

Sonucu Elde edilir. Bu durumda Eski Mısırlıların, için, 4.8/92 değerini kullanmış oldukları anlaşılmaktadır.
3 değerini, ondalık kesir şeklinde düşündüğümüzde

• = 4.8/92 = 4.64/81 = 3,1604 4

Elde edilir. Fakat, için bazen kısaca 3 değeriyle de yetinildiği oluyordu Bu durumda bugünkü gösterim şekliyle düşünüldüğünde, Eski Mısırlıların, sayısı kavramını bildikleri ve değeri için 3,160 değerini Archimidesten 2700 yıl kadar önce kullanmış oldukları anlaşılmaktadır.

Burada akla şöyle bir soru gelmektedir Acaba, Eski Mısırlılar, sayısının bu değerini hangi düşünceler, ya da ihtiyaçlar sonucu elde edebilmişlerdir? Bu sorunun cevabı hakkında kesin bir yargıya varmak çok güçtür. Ancak bazı hipotezler varsayımlar ileri sürülmektedir. Bunlar

1 9 birim değerine eşit bir çapla çizilmiş bir daire ile 8 birim uzunluktaki bir karenin yüzölçümleri arasındaki pratik amprik karşılaştırmanın bu konuda esas olarak alınacağı farz edilmiştir.

Bugünkü notasyonla k bir katsayıyı, R daire çapını, a kare kenarını göstermek üzere yazılırsa

• k.R/22 .a2

yazılabilir. Buna göre a = 8 birim, R = 9 birim kabul edilirse, sayısını temsil eden değer

• k.9/22 = 82
  k = 82 .2/92
  k = 64.4/81 ise k = 256/81 = 3,1604

elde edilir.

Bu hipotez doğru ise, Eski Mısırlılar bu sonuca nasıl varmışlardır? Bunun, meşhur Bir daireye eşdeğer kare çizmek problemi ile ne derece bir ilişkisi vardır? Bunu bilemiyoruz. Bunun hakkında kesin bir hüküm vermek bugün için mümkün değildir.

2 Ayrıca şöyle bir varsayım da ileri sürülmüştür sayısının değeri, M.Ö. 2800-2700 yıllarına ait, Gize Kasabası yakınlarındaki büyük Keops Piramidinin ölçülerine göre de hesaplanabilmektedir.

Keops Piramidi üzerinde yapılan incelemeler, bu piramidin inşa edildiği tarihte, bugünkü ölçü birimi i1e 232,805 metre kenarlı bir kare tabanı olduğu ve 148,208 metre yüksekliğinde bulunduğu izlenmiştir.

Tabanın Çevresi 4×232,805 = 931,22 metre olacağından, bu çevrenin yükseklik değerinin iki katına bölünmesiyle

• 931,22/2×148,208 = 3,14159

Sayısı beş ondalıklı yakınlıkla, sayısının bilinen değerini vermektedir 3 Başka bir araştırmada da Keops Piramidinin tabanı olan karenin kenarı 440 Eski Mısır kulacı, yüksekliği de, 280 kulaç değerini vermektedir. Bu sayılara göre için

Taban Çevresi/yüksekliğin iki Katı=4×440/2×280=22/7

Değeri elde edilir. Bu değerin, ancak iskenderiye Okulu M.Ö. III. yüzyıl buluşları arasında ve Archimides değeri olarak gösterilmekte olduğu hatırlanırsa, gerçeğin nereden kaynaklandığı ortaya çıkmaktadır.

Özet olarak belirtecek olursak Eski Mısır mühendis ve mimarları, kutsal anıtları olan Büyük Keops Piramidinin inşaası sırasında, sayısının değerini biliyorlardı. Mühendislik hizmetlerinde sayısının değerini maharetle kullanmış oldukları sonucu elde edilmektedir.

Sonuç olarak denilebilir ki Eski Mıısırlıların, Anıt-Piramit yüksekliği için kare tabana, çevrece eşit bir dairenin çapını almak suretiyle, adeta mistik bir sayı olan irrasyorıel sayısına büyük önem verme ihtiyacını duydukları ve bu sayede dolaylı yoldan bilime hizmet ettikleri görülmektedir.

sayısı üzerinde, Babillilerin çok eski zamanlardan beri kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak = 3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde nin yani = 3,125 değerine de rastlanılmıştır.

Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, Mezopatamyalılarda, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum açıkça mevcuttur der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken için, 3 değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.

Bu değeri Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman = 3,125 değerini uygularlardı.

Ancak nin, Mısırlılarınkinden ve Susa Tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilk önce Archimides tarafından bulunmuştur.

Kaynaklar Mezopotamyalıların, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susada bulunmuş olan tabletlerde için kabul edilen değerin yani 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Kaynaklar sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimides tarafından kullanıldığını belirtir. Archimides sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve değerini 3 tam 1/7 ile 3 tam 10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı olarak karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir.

Ancak, Archimidesin gençlik yıllarında Mısırda iskenderiyede uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte. Bu öğrenim sırasında, Cona ve Erotostanes adlı iki samimi arkadaş edinmiş olur.

Mısırlılardan Eratostanes, devrinin büyük bir matematikçisi olup Cona da, Archimedesin saygısını kazanmış büyük ve deneyimli bir matematikçi olarak tanınmaktadır. Archimidesin fikri yapılarının temelinde bu iki matematikçiye ait izlerin bulunduğunu belirtmek gerekir.

Bu konuda diğer bir gerçek de Archimidesin sağlığında iskenderiyede Öklidden ders aldığı, Öklidin de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir.

iskenderiyeli Tarihçi Herodot Miladi birinci yüzyıl, metrika adlı eserinde sayısı için verdiği değer 3,58 tam 1/8 dir. Bu değer, iskenderiyeli Herondan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerlerle kullanılmıştır. iskenderiyeli Heronun verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılardan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.

Nasıl bir sayısı Örneğin m ve n birer tam sayı olmak üzere, nin değeri m/n şeklinde yazılabilir mi? yani nin değeri rasyonel bir sayı mıdır?

Başlangıcta, matematikçiler bu yönde ümitliydiler. nin bu kadar çok ondalık kısmının hesaplanmasının nedenlerinden biri de, buydu herhalde. Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama bu olmadı, Sonunda, 1761 yılında, isviçreli matematikçi Lambert, nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı.

Pi sayısına ait değerin, gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusunun yanısıra, matematikçilerin rüyalarına giren başka bir problemi de, daireyi kare yapma problemiydi. Bu uğraşıya, kendilerini kaptıranların önderi Anaksagorastır M.Ö. 500-428 Bir ara Atinada, zındıklıkla suçlanıp hapse atılan Anaksagoras, burada can sıkıntısından, daireyi kare yapmanın yollarını aramaya başlar. Kendisinin çözdüğünü sandığı, bazı yaklaşık sonuçlar elde edler. Daha sonra, Kilyoslu Hippokrates M.Ö. 5. yüzyıllın ikinci yarısı , aşağıdaki şekilde.

taranmış ACBA alanının, AOB üçgenin alanına eşit olduğunu gösterir Buna benzer başka örnekler gösterir ki, belli eğrilerle sınırlanmış, bazı bölgelerin alanlarına eşit alanda kareler çizilebilir.

18. yüzyılın sonlarından başlayarak, dairenin kare yapılmasının imkansız olduğu fikri, matematikçilere hakim oldu. Bu kuşku o kadar büyük ki, 1775 te, Paris Bilimler Akademisi, devr-i daim makinesi projeleri, açıyı pergel ve cetvel kullanarak üç eşit parçaya bölme yöntemlerinin yanısıra daireyi kare yapma yöntemlerini de, artık inceleme kararı aldı.

1775 te Euler, 1794 te Legendra, nin belki de, cebirsel bir sayı olmadığına, üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler. Fakat nin üstel olduğunun kanıtlanması için, 100 yıl beklendi. Sonunda, 1882 yılında, Alman matematikçi Lindermann, nin üstel olduğunu ispatladı.

Aşağıda sayısının ilk 1000 basamağı verilmiştir. Sonsuza uzanan bu yolculuktaki çok çok ufak sayılabilecek bu 1000 basamak bile sayısının muhteşem güzelliğini gözler önüne sermeye yetmiyor mu, ne dersiniz.