•    Bir eşitliğin bir yanından öteki yanına geçirilen ifadelerin işareti değişir:
işaret + ise — olur; — ise + olur.

Şimdi denklemi çözmeye başlayalım:

x’li ifadeyi eşitliğin bir yanında yalnız bırakmak için x’siz ifadeyi eşitliğin sağ yanına geçiririz, işareti — iken + olur:

3x = 6b

Demek üç tane x, 6 tane b’ye eşitmiş. Biz tek x’in değerini aradığımıza göre eşitliğin her iki yanını da 3′e böleriz.

Burada da şu kuralı kullanmış oluruz:

•    Bir eşitliğin iki yanındaki bütün terimleri aynı sayıyla çarparsak, ya da aynı sayıya bölersek eşitlik bozulmaz.

Biz burada aynı sayıya yani 3′e bölüyoruz. Böylece x’in değerini bulmuş, yani denklemi çözmüş oluruz.

3x/3 = 6b/3

Demek ki x yerine 3 koyarsak yukarıda aldığımız denklem sağlanır, yani eşitlik olur. x yerine başka bir sayı koyarsak eşitlik bozulur. x’in bulduğumuz bu 3 değerine ilk aldığımız denklemin kökü denir, öyleyse bizim denklemi çözmemiz, denklemin kökünü bulmak demektir.

• Cebirde sabit sayıların da, harfli ifadelerin de işaretleri hiçbir zaman gözden uzak tutulmaz.

• Cebirde işaretsiz terim yoktur.

Bir sayının, ya da harfli bir ifadenin önünde hiçbir işaret yoksa + varmış gibi işlem yapılır.

İki ifade birbirine eşitse bu iki ifade aralarına bir  =  işareti konularak yazılır:

2a + 5b = 8c + lOd    gibi.

Bazı durumlarda harfli bir ifade sabit bir sayıya eşittir. O zaman eşitliği sağlayan harf için belli bir değer belirlenmiş demektir.

Örnek: 25a = 100 eşitliği verilmişse, bu eşitlik yalnız a = 4 için doğrudur.

Denklem. — Bu gibi eşitliklere denklem denir. Denklem cebirin temel tanımlarından biridir, aritmetikte çok güç çözebildiğimiz problemleri bile kolayca çözmemizi sağlar. Eşitliği gerçekleştiren değerine denklemin koku denir. Bir denklemin kökünü bulmak için yaptığımız işlemlere İse denklemi çözmek deriz. Denklemlerde, denklemi sağlayan harf a, b, c… yerine genellikle x, y, z ile gösterilir. Buna karşılık a, b, c gibi harfler sabit büyüklükleri belirtir.

Şöyle bir örnek alalım:

3x – 6b = 0

CEBİR NEDİR?

Cebir matematiğin formüllerle, denklemlerle, basitleştirilmiş şeklidir. Bundan dolayı ona, matematiğin kısa yazılışı  denebilir. Cebirin ne olduğunu anlayabilmek için, temele inelim;  işe «harfli ifadeler»le başlayalım.

Harfli İfade. — Sayılarla yaptığımız bütün işlemleri harflerle, (harfli ifadelerle) de yapabiliriz. Bir ifade içinde hem sayı, hem de harf varsa buna harfli ifade deriz.
5a ,       a+b+c ,       2a+2b , 2nr ,        nr2             hep harfli ifadedir.

Bir örnek: Bir çemberin uzunluğunun yarıçapı ile n (pi) sayısının çarpımının iki katına eşit olduğunu biliyoruz. Bu eşitliği böyle sözle uzun uzun anlatmak yerine, belli harflere belli anlamlar veririz; sonra da formülü yazarız. Formül bizim sözle anlattığımızı kısaca anlatıverir. Çemberin yançapı her zaman r ile gösterilir. Çember uzunluğuna da m dersek, yukarıdaki uzunluk ifadesi şu şekli alır:

m = 2nr

Gene böyle, «dairenin alam, yarıçapının karesinin n ile çarpımına eşittir» değil mi? Bunu anlatmak için şu formülü yazarız:

S = nr2

• Aritmetikteki, geometrideki, fizik -kimyadaki bütün eşitlikler formüllerle gösterilir. Böylece işimiz kolaylaşır.

Katsayı. — Bir harfli ifade’de, harfin yanındaki çarpana katsayı denir. Örnek: 8a harfli ifadesinde 5 sayısı a harfinin katsayısıdır. Hem 8, hem de a çarpan ‘dır.

Tek terimli harfli ifadeler olduğu gibi çok terimli harfli ifadeler de vardır.

Örnek: 8a tek terimli bir harfli ifadedir. Buna karşılık a1 + 2ab + fc5 harfli ifadesi üç terimlidir.

Birbirinden + (artı), ya da — (eksi) işaretiyle ayrılmış çarpanlardan oluşan terimler de aralarında toplanır, çıkarılır, çarpılır, bölünür.

Toplama çıkarma için benzer terimler alınır, katsayıları toplanır. Böylece tek terim elde edilir.
Örnek: 3a+7b-4a+2a-6b+5a+9b=6a+ 10b

• Ortaklık çeşitli kişilerin, ya da kuruluşların bir araya gelmesiyle kurulur.

Ortaklıkların komandit, kolektif, anonim gibi çeşitleri vardır. Herbirinin yapısı, yetkileri, sorumlulukları yasalarla saptanmıştır. Kişiler bu ortaklıkların hisse senetleri’nden alarak ortak olurlar. Hisse senedine aksiyon da denir. Bir ortak kaç lira yatırdıysa o değerde hisse senedi alır; şirketin karına (kazancına) da, zararına da elindeki hisse senetlerinin toplamı oranında katılır.

Komandit Ortaklık. — Ticari bir işletmeyi bir ticaret unvanı altında işletmek üzere kurulur. Orlaklığın alacaklılarına karşı ortaklardan bir, ya da birkaçının sorumluluğu sınırsızdır, ötekilerininki koydukları sermayeyle sınırlıdır. Sorumu sınırsız olanlara «komanditer ortak» denilir. Komanditer ortakların, gerçek kişi olmaları şarttır. Tüzel kişiler ancak «komandite ortak» olabilirler.

Komanditerler, ortaklık işlerini görmeye yetkili değillerdir, komanditerlerin yetkileri içinde yaptıkları işleri de
engelleyemezler; ancak, yıl sonlarında bilançoyu, defterleri incelemeye hakları vardır.    ..

Kolektif Ortaklık. — Ticari bir iş yapmak üzere, bir ticaret unvanı altında, gerçek kişiler arasında, kurulur. Sözleşmede aksi yazılı olmadıkça ortakların her birisi, ayrı ayrı ortaklığı yönetmek hakkını, görevini taşır. Sözleşme, ancak oy birliğiyle değiştirilebilir. Öteki kararlar, sözleşmede aksi yazılmadıkça, ortakların çoğunluğu ile verilir. Ortaklığın alacaklılarına karşı ortakların sorumluluğu sınırsızdır: Ortaklar, ortaklığın borçlarından, taahhütlerinden zincirleme (müteselsilen), bütün mallarıyla sorumludurlar.

Anonim Ortaklık. — Büyük işletmeleri yürütmek için ufak sermayelerin birikmesiyle muazzam varlıklar meydana getirmek üzere kurulur. 500.000 liradan az olmamak üzere belirli bir sermayesi, bir ticaret unvanı vardır, ortaklığın sorumu da sermayesiyle sınırlıdır. Sermaye en az 500, en çok 5.000 liralık paylara (hisselere) bölünmüştür. Ortaklar, ortaklığın işlerinden yalnız koydukları, ya da taahhüt ettikleri sermaye miktarın ca sorumludurlar. Sözleşmeye, «esas mukavele» denir. Anonim ortaklıklar, sözleşmede gösterilmek şartiyle, kanunla yasak olmayan her türlü iktisadi maksatlar, konular için, en az beş ortakla, Ticaret Bakanlığınca verilecek izinle kurulabilir.

Anonim ortaklığın başlıca organları şunlardır: Genel kurul (umumi heyet), yönetim kurulu (idare meclisi), denetçiler (murakıplar).

Yalnız, ticarette süre de en az para kadar önemli olduğu için işler bukadar basit çözümlenemez. Ödemeler hemen yapılamayacaktır; aralarında öyle anlaşmışlardır. Bu durumda Bay Ahmet borçlu olduğu Bay Çetin’e bir poliçe verir. Bu poliçede borcun miktarı, ödeneceği tarih (yani poliçenin vadesi) yazılıdır. Bay Ahmet kendi adına imzasını atar. Sonra poliçeyi parayı asıl ödeyecek olan Bay Orhan imzalar. Böylece Bay Orhan, Bay Ahmet adına, Bay Çetin’e poliçede yazılı parayı, yazılı tarihte ödemeyi yükümlenmiş olur.

Bankalar poliçeleri de kırarlar. Gene aynı şekilde poliçenin vadesine göre faizi hesaplanır, banka bu faizi kestikten sonra kalan parayı Bay Çetin’e öder. Poliçenin vadesi dolunca Bay Orhan parayı artık Bay Çetin’e değil, bankaya öder.

Bir tüccar diyelim toptancıdan mal aldı. Bunun karşılığını bütünüyle para olarak ödeyemezse, arta kalan miktarı için bono imzalar.

• Bono borcun belli bir tarihte ödeneceğini belirten bir belgedir.

Kararlaştırılan gün gelince borçlu tüccar borcunu öder, imzaladığı bonoyu geri alır. Yalnız, bu iş, genellikle, banka aracılığıyla yapılır. Bankaların gördükleri birçok iş arasında bono ödemeleri de önemli yer tutar.

Tüccar, borçlusundan aldığı bonoyu hesabı olan bankaya verir, zamanı gelince ödenecek paranın da bankadaki hesabına eklenmesini ister. Bundan sonra bononun ödenip ödenmemesiyle artık banka ilgilenir, ödenirse parayı tüccarın hesabına geçirir, durumu kendisine bildirir, ödenmezse bunu da gene tüccara bildirir. O zaman iş mahkeme yoluyla borcun ödetilmesine kalır.

Bono kırmak ne demek ?

Bir de bononun kırdırılması söz konusu olur. Elinde bir bono bulunan bir tüccar düşünelim. Bu tüccar bononun ödenme tarihini beklemeden parasını almak isterse gene bankaya başvurur.

Banka bonoyu alır, tüccara parasını Öder. Zamanı gelince de para bankanın olur. Ancak, banka bu işi yapmak için tüccardan belli bir ücret alır. Bu ücret bononun değeriyle, ödeneceği zamanla (vade’si ile) orantılıdır. Bir faiz hesabı yapılır, banka kendi payını keser, geri kalanını tüccara öder.

Bunlar gibi daha bir yığın örnek sayılabilir. Kısaca söylemek gerekirse her bilim dalı gibi aritmetik de, geometri de hayatta sık sık kullandığımız yardımcılarımızdır.

Ticarette aritmetik

Bundan başka ticaret hayatında da aritmetiğin çok önemli bir yeri vardır. Aritmetik işlemleri yapılmadan ticaret yapılamaz. Bütün alışverişler, banka işlemleri, vergilerin hesaplanması, ödenmesi, belediyelerin bizlere sağladığı elektrik, su, havagazı, otobüs gibi kolaylıklar, tren, vapur, uçak tarifeleri, ücretleri… hepsi, hepsi aritmetik yardımıyla hesaplar yapılarak gerçekleştirilebilir.

Üçgen çizimi sırasında yalnız pergelle cetvel, kimi vakit de iletki kullanılır. önce herhangi bir üçgen çizeriz. Buna örnek üçgen denir. Bize verilen elemanları bu üçgen üzerinde belirtiriz, ondan sonra asıl üçgenin çizimine nereden başlayıp çizimi nasıl yapacağımızı kestiririz. Bütün sorun bilinen elemanlardan, üçgenlerin özelliklerinden yararlanarak üçgenin bilinmeyen elemanlarını bulmaktır.

Örnek 1. — h, c, b elemanları bilinen üçgeni çizin.

Çizim. — önce, örnek üçgeni çizeriz. Bildiğimiz gibi h, yüksekliği a kenarına A köşesinden indirilen dikme demektir; yani ADC ve ADB üçgenleri birer dik üçgendir. Bu düşünceden yola çıkarak yatay bir doğru çizeriz. Bu, BC kenarını üzerinde taşıyan doğrudur. Bunun üzerinde herhangi bir nokta alırız, bunu D noktası kabul ederiz. D noktasından ilk aldığımız yatay doğruya bir dikme çıkarız, bu dikme üzerinde pergelle h, yüksekliğini işaretleriz.

Bulduğumuz bu son nokta üçgenin A köşesidir. Şimdi B ve C köşelerini bulmaya sıra geldi. Pergelin sivri ayağını A köşesine koyarız, pergeli b kenarı kadar açıp, ilk çizdiğimiz yatay doğru üzerinde bir yay çizeriz. Bulduğumuz nokta C köşesi olur. Aynı şekilde pergeli c kenan kadar açıp, D noktasının öteki yanında da bir nokta işaretlersek B noktasını buluruz. Böylece bizden istenen ABC üçgeninin çizimi bitmiş olur.

Sağlamasını yapmak da kolaydır. Bakarsak görürüz ki, gerçekten, çizdiğimiz üçgenin bir kenarı bize verilen b, öteki kenarı gene bize verilen c uzunluğundadır. Öte yandan üçgenin h, yüksekliği de gene bize verilen uzunluğa eşittir, öyleyse çizimimiz doğrudur.

örnek 2. — b, c, C, B elemanları bilinen üçgeni çizin.

Çizim. — Burada görüldüğü gibi b ve c kenarlarının uzunluğu verilmemiştir, yalnız, iki kenarın farkını biliyoruz. Bir de C ve B açılarını bildiğimize göre üçgenin üçüncü açısı olan A’yı da biliyoruz demektir. Çünkü, bildiğimiz gibi,  bir  üçgenin  iç açılarının  toplamı 180″ dir, B ile C’ nin toplamım 180o,den çıkarırsak A açısını elde ederiz. Şimdi örnek üçgenimizi çizebiliriz artık.

örnek üçgen üzerinde durumu inceleriz. C köşesinden başlayarak bize verilen b-c farkı kadar bir uzunluk alırsak D noktasını buluruz. ADB üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Çünkü gerek AD, gerekse AB kenarının uzunluğu c dir. İkizkenar üçgende, tabanın yüksekliği, kenarortayı, açıortayı hep aynı doğrudur, bunu da biliyoruz. O zaman çizimi yapmamız epeyce kolaylaşır.

İkizkenar üçgenin başka bir özelliği de burada işimize yarayacaktır. ikizkenar üçgenin taban} açıları birbirine eşittir. Öyleyse, ABD açısı ile ADB açısı birbirine eşit olacaktır. Çünkü bunlar ABD ikizkenar üçgeninin taban açılarıdır. Çizimi şöyle yaparız:

Bize verilen C açısını çizeriz. Açının üst kenarı üzerinde b-c farkını alarak D noktasını buluruz. Şimdi amacımız önce ABD üçgenini çizmektir, öyleyse B köşesini bulmamız gerekir. ABD üçgeninin tepe açısını, yani A açısını bildiğimize göre, bu üçgenin taban açılarının toplamını da biliyoruz demektir (180° — A). ABD ikizkenar üçgen olduğuna göre taban açıları eşittir. 180° — A farkını ikiye böleriz, taban açılarını buluruz. D noktasından bulduğumuz açıyı alırız, kenarının m doğrusunu kestiği nokta B noktasıdır.

Şimdi sıra A noktasını bulmaya gelmiştir. Bu noktayı iki yolla bulabiliriz:

1.    — ABD ikizkenar üçgen olduğuna göre BD tabanının ortasından çıkacağımız dikmenin CD doğrusunu kestiği nokta A noktası olacaktır.

2.    — B köşesini ve asıl üçgenin B açısını biliyoruz, BC doğrusundan B açısı kadar alır, kenarını uzatırsak gene CD doğrusuyla kesim noktasında A köşesini buluruz.

Örnek 3. — a, b, B elemanları bilinen üçgeni çizin.
Çizim. — Aslında bu çizim, öteki örneklerimize oranla daha kolaydır. Ancak başka özellikler taşıdığı için seçilmiştir. Bize verilen B açışım alır, kenarlarını uzatırız. Alt kenarı üzerinde pergelle a kadar alırız. Böylece C noktasını buluruz, ilk aldığımız açının köşeşi de B noktasıdır zaten. Sonra pergelimizi b kadar açar, sivri ucunu C noktasına koyar bir yay çizeriz. Bu yayın ilk aldığımız açının üst kenarını kestiği nokta A’dır. Öyleyse aradığımız üçgen çizilmiştir. Ancak, gördüğümüz gibi C’den çizilen yay açının üst kenarını iki noktada keser: A ve A’, Acaba A’BC üçgeni aradığımız üçgen olamaz mı? Araştıralım bakalım. ABC üçgeninde bize verilen üç eleman (a, b, B) ölçülerine uygundur. Öyleyse ABC üçgeni çizmeye çalıştığımız üçgendir. ABC üçgeninde de üç eleman (a, b, B) bize verilen ölçülerdedir. Öyleyse ABC üçgeni de çizmeye çalıştığımız üçgendir. Demek ki bu problemin iki çözümü vardır: ABC ve A’BC üçgenleri, iki üçgen de aranan üçgendir.

Bu   iki  üçgenin  üçer  elemanları  eşittir:  İki kenarları ile bir açıları. İlk bakışta bu iki üçgenin eşit jlması gerektiği de düşünülebilir belki ama, kesin olarak görüyoruz ki bu iki üçgen eşit değildir. Burada da K.K.A, eşitlik kuralının doğruluğunu bir kez daha görmüş oluruz. Bu iki üçgende büyük kenarın (BA ve BA’) karşısındaki C ve C açıları eşit olmadığı için üçgenler eşit değildir. Çünkü bildiğimiz gibi K.K.A. kuralına göre, iki üçgenin eşit olması için büyük kenarlar karşısındaki açıların eşit olması gerekir.

•    Üst üste koyduğumuz zaman bütünüyle birbirini örten, yani kenarları tam çakışan üçgenlere eşit üçgenler deriz. Eşit üçgenlerin bütün kenarları da, bütün açıları da karşılıklı olarak birbirine eşittir.

Üçgenleri kağıttan kesip üst üste koymadan da eşit olup olmadıklarını anlarız. Bunun için ilk akla gelen çözüm, aldığımız iki üçgenin kenarlarını cetvelle ölçmektir. Sonra da üçgenlerin açılarını iletkiyle ölçeriz. Karşılıklı olarak bu kenarlarla açılar eşitse aldığımız üçgenler eşit demektir. Yalnız, her zaman bu altı ölçmeyi yapmamız gerekli değildir. Daha az bilgiyle iki üçgenin eşit olup olmadığını anlayabiliriz.

•    l’inci Eşitlik Durumu. — İki üçgenin karşılıklı olarak ikişer kenarı ile bu kenarlar arasındaki açıları eşitse o iki üçgen birbirine eşittir. Bu kuralı K.A.K. formülüyle gösteririz. K kenarı, A da eşit olan iki kenar arasındaki açıyı gösterir.

•    2′nci Eşitlik Durumu. — A.K.A. formülünden de anlaşılacağı gibi, iki üçgenin karşılıklı birer kenarları ile bu kenarların iki ucundaki ikişer açıları eşitse o iki üçgen birbirine eşittir.

• 3′üncü Eşitlik Durumu. — K.K.K. Formülünde ise üçer kenarı da eşit olan üçgenler birbirine eşittir: K.K.K.

•    4′üncü Eşitlik Durumu: Karşılıklı olarak ikişer kenarları ite bu iki kenardan büyük olanın karşısındaki açıları eşit olan üçgenler de birbirine eşittir: K.K.A. Yalnız, bu formülle üçgenlerin eşitliğini ispatlarken çok dikkatli olmak, yukarıda belirtildiği gibi, eşit olan açının büyük kenarın karşısında bulunup bulunmadığına bakmak gerekir.

Sonuç. — Yukarıda sayılan kurallardan şu sonucu çıkarabiliriz:

•    İki üçgenin birbirine eşit olabilmesi için, karşılıklı olarak üçer elemanının eşit olması gerekir. Üstelik, bu üç elemandan en az bir tanesi de kenar olmalıdır. Örneğin, üçer açısı da eşit olan iki üçgen eşit olabilir de olmayabilir de.

Eşit olmayan, ama üç açıları da karşılıklı eşit olan üçgenlere, ilerde göreceğimiz gibi benzer üçgenler denir.