Nedir ve Nasıl

Geometrinin önemli konularından biri de bazı elemanları verilen bir üçgeni çizmektir. Bu konuda okadar çok problem vardır ki herbirini çözmek için ayrı bir yol izlemek gerekir. Her şeyden önce de elbette üçgenlerin özelliklerini çok iyi bilmek zorunludur. Bu bilinirse o zaman üçgen çizimi kolay, zevkli bir eğlence olur.

Üçgen çizimi sırasında yalnız pergelle cetvel, kimi vakit de iletki kullanılır. önce herhangi bir üçgen çizeriz. Buna örnek üçgen denir. Bize verilen elemanları bu üçgen üzerinde belirtiriz, ondan sonra asıl üçgenin çizimine nereden başlayıp çizimi nasıl yapacağımızı kestiririz. Bütün sorun bilinen elemanlardan, üçgenlerin özelliklerinden yararlanarak üçgenin bilinmeyen elemanlarını bulmaktır.

Örnek 1. — h, c, b elemanları bilinen üçgeni çizin.

Çizim. — önce, örnek üçgeni çizeriz. Bildiğimiz gibi h, yüksekliği a kenarına A köşesinden indirilen dikme demektir; yani ADC ve ADB üçgenleri birer dik üçgendir. Bu düşünceden yola çıkarak yatay bir doğru çizeriz. Bu, BC kenarını üzerinde taşıyan doğrudur. Bunun üzerinde herhangi bir nokta alırız, bunu D noktası kabul ederiz. D noktasından ilk aldığımız yatay doğruya bir dikme çıkarız, bu dikme üzerinde pergelle h, yüksekliğini işaretleriz.

Bulduğumuz bu son nokta üçgenin A köşesidir. Şimdi B ve C köşelerini bulmaya sıra geldi. Pergelin sivri ayağını A köşesine koyarız, pergeli b kenarı kadar açıp, ilk çizdiğimiz yatay doğru üzerinde bir yay çizeriz. Bulduğumuz nokta C köşesi olur. Aynı şekilde pergeli c kenan kadar açıp, D noktasının öteki yanında da bir nokta işaretlersek B noktasını buluruz. Böylece bizden istenen ABC üçgeninin çizimi bitmiş olur.

Sağlamasını yapmak da kolaydır. Bakarsak görürüz ki, gerçekten, çizdiğimiz üçgenin bir kenarı bize verilen b, öteki kenarı gene bize verilen c uzunluğundadır. Öte yandan üçgenin h, yüksekliği de gene bize verilen uzunluğa eşittir, öyleyse çizimimiz doğrudur.

örnek 2. — b, c, C, B elemanları bilinen üçgeni çizin.

Çizim. — Burada görüldüğü gibi b ve c kenarlarının uzunluğu verilmemiştir, yalnız, iki kenarın farkını biliyoruz. Bir de C ve B açılarını bildiğimize göre üçgenin üçüncü açısı olan A’yı da biliyoruz demektir. Çünkü, bildiğimiz gibi,  bir  üçgenin  iç açılarının  toplamı 180″ dir, B ile C’ nin toplamım 180o,den çıkarırsak A açısını elde ederiz. Şimdi örnek üçgenimizi çizebiliriz artık.

örnek üçgen üzerinde durumu inceleriz. C köşesinden başlayarak bize verilen b-c farkı kadar bir uzunluk alırsak D noktasını buluruz. ADB üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Çünkü gerek AD, gerekse AB kenarının uzunluğu c dir. İkizkenar üçgende, tabanın yüksekliği, kenarortayı, açıortayı hep aynı doğrudur, bunu da biliyoruz. O zaman çizimi yapmamız epeyce kolaylaşır.

İkizkenar üçgenin başka bir özelliği de burada işimize yarayacaktır. ikizkenar üçgenin taban} açıları birbirine eşittir. Öyleyse, ABD açısı ile ADB açısı birbirine eşit olacaktır. Çünkü bunlar ABD ikizkenar üçgeninin taban açılarıdır. Çizimi şöyle yaparız:

Bize verilen C açısını çizeriz. Açının üst kenarı üzerinde b-c farkını alarak D noktasını buluruz. Şimdi amacımız önce ABD üçgenini çizmektir, öyleyse B köşesini bulmamız gerekir. ABD üçgeninin tepe açısını, yani A açısını bildiğimize göre, bu üçgenin taban açılarının toplamını da biliyoruz demektir (180° — A). ABD ikizkenar üçgen olduğuna göre taban açıları eşittir. 180° — A farkını ikiye böleriz, taban açılarını buluruz. D noktasından bulduğumuz açıyı alırız, kenarının m doğrusunu kestiği nokta B noktasıdır.

Şimdi sıra A noktasını bulmaya gelmiştir. Bu noktayı iki yolla bulabiliriz:

1.    — ABD ikizkenar üçgen olduğuna göre BD tabanının ortasından çıkacağımız dikmenin CD doğrusunu kestiği nokta A noktası olacaktır.

2.    — B köşesini ve asıl üçgenin B açısını biliyoruz, BC doğrusundan B açısı kadar alır, kenarını uzatırsak gene CD doğrusuyla kesim noktasında A köşesini buluruz.

Örnek 3. — a, b, B elemanları bilinen üçgeni çizin.
Çizim. — Aslında bu çizim, öteki örneklerimize oranla daha kolaydır. Ancak başka özellikler taşıdığı için seçilmiştir. Bize verilen B açışım alır, kenarlarını uzatırız. Alt kenarı üzerinde pergelle a kadar alırız. Böylece C noktasını buluruz, ilk aldığımız açının köşeşi de B noktasıdır zaten. Sonra pergelimizi b kadar açar, sivri ucunu C noktasına koyar bir yay çizeriz. Bu yayın ilk aldığımız açının üst kenarını kestiği nokta A’dır. Öyleyse aradığımız üçgen çizilmiştir. Ancak, gördüğümüz gibi C’den çizilen yay açının üst kenarını iki noktada keser: A ve A’, Acaba A’BC üçgeni aradığımız üçgen olamaz mı? Araştıralım bakalım. ABC üçgeninde bize verilen üç eleman (a, b, B) ölçülerine uygundur. Öyleyse ABC üçgeni çizmeye çalıştığımız üçgendir. ABC üçgeninde de üç eleman (a, b, B) bize verilen ölçülerdedir. Öyleyse ABC üçgeni de çizmeye çalıştığımız üçgendir. Demek ki bu problemin iki çözümü vardır: ABC ve A’BC üçgenleri, iki üçgen de aranan üçgendir.

Bu   iki  üçgenin  üçer  elemanları  eşittir:  İki kenarları ile bir açıları. İlk bakışta bu iki üçgenin eşit jlması gerektiği de düşünülebilir belki ama, kesin olarak görüyoruz ki bu iki üçgen eşit değildir. Burada da K.K.A, eşitlik kuralının doğruluğunu bir kez daha görmüş oluruz. Bu iki üçgende büyük kenarın (BA ve BA’) karşısındaki C ve C açıları eşit olmadığı için üçgenler eşit değildir. Çünkü bildiğimiz gibi K.K.A. kuralına göre, iki üçgenin eşit olması için büyük kenarlar karşısındaki açıların eşit olması gerekir.