•    Bir eşitliğin bir yanından öteki yanına geçirilen ifadelerin işareti değişir:
işaret + ise — olur; — ise + olur.

Şimdi denklemi çözmeye başlayalım:

x’li ifadeyi eşitliğin bir yanında yalnız bırakmak için x’siz ifadeyi eşitliğin sağ yanına geçiririz, işareti — iken + olur:

3x = 6b

Demek üç tane x, 6 tane b’ye eşitmiş. Biz tek x’in değerini aradığımıza göre eşitliğin her iki yanını da 3′e böleriz.

Burada da şu kuralı kullanmış oluruz:

•    Bir eşitliğin iki yanındaki bütün terimleri aynı sayıyla çarparsak, ya da aynı sayıya bölersek eşitlik bozulmaz.

Biz burada aynı sayıya yani 3′e bölüyoruz. Böylece x’in değerini bulmuş, yani denklemi çözmüş oluruz.

3x/3 = 6b/3

Demek ki x yerine 3 koyarsak yukarıda aldığımız denklem sağlanır, yani eşitlik olur. x yerine başka bir sayı koyarsak eşitlik bozulur. x’in bulduğumuz bu 3 değerine ilk aldığımız denklemin kökü denir, öyleyse bizim denklemi çözmemiz, denklemin kökünü bulmak demektir.

• Cebirde sabit sayıların da, harfli ifadelerin de işaretleri hiçbir zaman gözden uzak tutulmaz.

• Cebirde işaretsiz terim yoktur.

Bir sayının, ya da harfli bir ifadenin önünde hiçbir işaret yoksa + varmış gibi işlem yapılır.

İki ifade birbirine eşitse bu iki ifade aralarına bir  =  işareti konularak yazılır:

2a + 5b = 8c + lOd    gibi.

Bazı durumlarda harfli bir ifade sabit bir sayıya eşittir. O zaman eşitliği sağlayan harf için belli bir değer belirlenmiş demektir.

Örnek: 25a = 100 eşitliği verilmişse, bu eşitlik yalnız a = 4 için doğrudur.

Denklem. — Bu gibi eşitliklere denklem denir. Denklem cebirin temel tanımlarından biridir, aritmetikte çok güç çözebildiğimiz problemleri bile kolayca çözmemizi sağlar. Eşitliği gerçekleştiren değerine denklemin koku denir. Bir denklemin kökünü bulmak için yaptığımız işlemlere İse denklemi çözmek deriz. Denklemlerde, denklemi sağlayan harf a, b, c… yerine genellikle x, y, z ile gösterilir. Buna karşılık a, b, c gibi harfler sabit büyüklükleri belirtir.

Şöyle bir örnek alalım:

3x – 6b = 0

CEBİR NEDİR?

Cebir matematiğin formüllerle, denklemlerle, basitleştirilmiş şeklidir. Bundan dolayı ona, matematiğin kısa yazılışı  denebilir. Cebirin ne olduğunu anlayabilmek için, temele inelim;  işe «harfli ifadeler»le başlayalım.

Harfli İfade. — Sayılarla yaptığımız bütün işlemleri harflerle, (harfli ifadelerle) de yapabiliriz. Bir ifade içinde hem sayı, hem de harf varsa buna harfli ifade deriz.
5a ,       a+b+c ,       2a+2b , 2nr ,        nr2             hep harfli ifadedir.

Bir örnek: Bir çemberin uzunluğunun yarıçapı ile n (pi) sayısının çarpımının iki katına eşit olduğunu biliyoruz. Bu eşitliği böyle sözle uzun uzun anlatmak yerine, belli harflere belli anlamlar veririz; sonra da formülü yazarız. Formül bizim sözle anlattığımızı kısaca anlatıverir. Çemberin yançapı her zaman r ile gösterilir. Çember uzunluğuna da m dersek, yukarıdaki uzunluk ifadesi şu şekli alır:

m = 2nr

Gene böyle, «dairenin alam, yarıçapının karesinin n ile çarpımına eşittir» değil mi? Bunu anlatmak için şu formülü yazarız:

S = nr2

• Aritmetikteki, geometrideki, fizik -kimyadaki bütün eşitlikler formüllerle gösterilir. Böylece işimiz kolaylaşır.

Katsayı. — Bir harfli ifade’de, harfin yanındaki çarpana katsayı denir. Örnek: 8a harfli ifadesinde 5 sayısı a harfinin katsayısıdır. Hem 8, hem de a çarpan ‘dır.

Tek terimli harfli ifadeler olduğu gibi çok terimli harfli ifadeler de vardır.

Örnek: 8a tek terimli bir harfli ifadedir. Buna karşılık a1 + 2ab + fc5 harfli ifadesi üç terimlidir.

Birbirinden + (artı), ya da — (eksi) işaretiyle ayrılmış çarpanlardan oluşan terimler de aralarında toplanır, çıkarılır, çarpılır, bölünür.

Toplama çıkarma için benzer terimler alınır, katsayıları toplanır. Böylece tek terim elde edilir.
Örnek: 3a+7b-4a+2a-6b+5a+9b=6a+ 10b

• Ortaklık çeşitli kişilerin, ya da kuruluşların bir araya gelmesiyle kurulur.

Ortaklıkların komandit, kolektif, anonim gibi çeşitleri vardır. Herbirinin yapısı, yetkileri, sorumlulukları yasalarla saptanmıştır. Kişiler bu ortaklıkların hisse senetleri’nden alarak ortak olurlar. Hisse senedine aksiyon da denir. Bir ortak kaç lira yatırdıysa o değerde hisse senedi alır; şirketin karına (kazancına) da, zararına da elindeki hisse senetlerinin toplamı oranında katılır.

Komandit Ortaklık. — Ticari bir işletmeyi bir ticaret unvanı altında işletmek üzere kurulur. Orlaklığın alacaklılarına karşı ortaklardan bir, ya da birkaçının sorumluluğu sınırsızdır, ötekilerininki koydukları sermayeyle sınırlıdır. Sorumu sınırsız olanlara «komanditer ortak» denilir. Komanditer ortakların, gerçek kişi olmaları şarttır. Tüzel kişiler ancak «komandite ortak» olabilirler.

Komanditerler, ortaklık işlerini görmeye yetkili değillerdir, komanditerlerin yetkileri içinde yaptıkları işleri de
engelleyemezler; ancak, yıl sonlarında bilançoyu, defterleri incelemeye hakları vardır.    ..

Kolektif Ortaklık. — Ticari bir iş yapmak üzere, bir ticaret unvanı altında, gerçek kişiler arasında, kurulur. Sözleşmede aksi yazılı olmadıkça ortakların her birisi, ayrı ayrı ortaklığı yönetmek hakkını, görevini taşır. Sözleşme, ancak oy birliğiyle değiştirilebilir. Öteki kararlar, sözleşmede aksi yazılmadıkça, ortakların çoğunluğu ile verilir. Ortaklığın alacaklılarına karşı ortakların sorumluluğu sınırsızdır: Ortaklar, ortaklığın borçlarından, taahhütlerinden zincirleme (müteselsilen), bütün mallarıyla sorumludurlar.

Anonim Ortaklık. — Büyük işletmeleri yürütmek için ufak sermayelerin birikmesiyle muazzam varlıklar meydana getirmek üzere kurulur. 500.000 liradan az olmamak üzere belirli bir sermayesi, bir ticaret unvanı vardır, ortaklığın sorumu da sermayesiyle sınırlıdır. Sermaye en az 500, en çok 5.000 liralık paylara (hisselere) bölünmüştür. Ortaklar, ortaklığın işlerinden yalnız koydukları, ya da taahhüt ettikleri sermaye miktarın ca sorumludurlar. Sözleşmeye, «esas mukavele» denir. Anonim ortaklıklar, sözleşmede gösterilmek şartiyle, kanunla yasak olmayan her türlü iktisadi maksatlar, konular için, en az beş ortakla, Ticaret Bakanlığınca verilecek izinle kurulabilir.

Anonim ortaklığın başlıca organları şunlardır: Genel kurul (umumi heyet), yönetim kurulu (idare meclisi), denetçiler (murakıplar).

Yalnız, ticarette süre de en az para kadar önemli olduğu için işler bukadar basit çözümlenemez. Ödemeler hemen yapılamayacaktır; aralarında öyle anlaşmışlardır. Bu durumda Bay Ahmet borçlu olduğu Bay Çetin’e bir poliçe verir. Bu poliçede borcun miktarı, ödeneceği tarih (yani poliçenin vadesi) yazılıdır. Bay Ahmet kendi adına imzasını atar. Sonra poliçeyi parayı asıl ödeyecek olan Bay Orhan imzalar. Böylece Bay Orhan, Bay Ahmet adına, Bay Çetin’e poliçede yazılı parayı, yazılı tarihte ödemeyi yükümlenmiş olur.

Bankalar poliçeleri de kırarlar. Gene aynı şekilde poliçenin vadesine göre faizi hesaplanır, banka bu faizi kestikten sonra kalan parayı Bay Çetin’e öder. Poliçenin vadesi dolunca Bay Orhan parayı artık Bay Çetin’e değil, bankaya öder.

Bir tüccar diyelim toptancıdan mal aldı. Bunun karşılığını bütünüyle para olarak ödeyemezse, arta kalan miktarı için bono imzalar.

• Bono borcun belli bir tarihte ödeneceğini belirten bir belgedir.

Kararlaştırılan gün gelince borçlu tüccar borcunu öder, imzaladığı bonoyu geri alır. Yalnız, bu iş, genellikle, banka aracılığıyla yapılır. Bankaların gördükleri birçok iş arasında bono ödemeleri de önemli yer tutar.

Tüccar, borçlusundan aldığı bonoyu hesabı olan bankaya verir, zamanı gelince ödenecek paranın da bankadaki hesabına eklenmesini ister. Bundan sonra bononun ödenip ödenmemesiyle artık banka ilgilenir, ödenirse parayı tüccarın hesabına geçirir, durumu kendisine bildirir, ödenmezse bunu da gene tüccara bildirir. O zaman iş mahkeme yoluyla borcun ödetilmesine kalır.

Bono kırmak ne demek ?

Bir de bononun kırdırılması söz konusu olur. Elinde bir bono bulunan bir tüccar düşünelim. Bu tüccar bononun ödenme tarihini beklemeden parasını almak isterse gene bankaya başvurur.

Banka bonoyu alır, tüccara parasını Öder. Zamanı gelince de para bankanın olur. Ancak, banka bu işi yapmak için tüccardan belli bir ücret alır. Bu ücret bononun değeriyle, ödeneceği zamanla (vade’si ile) orantılıdır. Bir faiz hesabı yapılır, banka kendi payını keser, geri kalanını tüccara öder.

Bunlar gibi daha bir yığın örnek sayılabilir. Kısaca söylemek gerekirse her bilim dalı gibi aritmetik de, geometri de hayatta sık sık kullandığımız yardımcılarımızdır.

Ticarette aritmetik

Bundan başka ticaret hayatında da aritmetiğin çok önemli bir yeri vardır. Aritmetik işlemleri yapılmadan ticaret yapılamaz. Bütün alışverişler, banka işlemleri, vergilerin hesaplanması, ödenmesi, belediyelerin bizlere sağladığı elektrik, su, havagazı, otobüs gibi kolaylıklar, tren, vapur, uçak tarifeleri, ücretleri… hepsi, hepsi aritmetik yardımıyla hesaplar yapılarak gerçekleştirilebilir.

Helikopterler pek büyük yapılamadığı için yolcu taşımakta kullanılamıyor. Bunlarla ancak birkaç kişi, az bir yük taşınabilir.

Büylece, uçağı ileri götüren kuvvet sürtünme kuvvetini yener, uçağı ileri götürür. Sürtünme kuvveti, geriye itilen havanın, uçağın kanatlarına, gövdesine çarparak sürtünmesi sonunda ortaya çıkar. Hareket eden bütün cisimleri etkileyen bu kuvveti ortadan kaldırmanın imkanı yoktur. Fakat küçültmek için birçok yol bulunmuştur. Uçağın gövdesine Öyle biçim verilir ki, pervanenin geri ittiği hava kolayca gövdeyi yalayıp arkaya geçer. Havaya en az karşı koyan biçimler bulmak için boyuna hesaplar, deneyler yapılır. Uçakların, aerodinamik şekillerin gelişmesine çalışılır. Bu işle uğraşan ayrı bir bilim dalı vardır. Buna «akışlar mekaniği» adı verilir. Bu bilim dalı deniz teknelerinin ve havada uçan cisimlerin biçimlerini etüd eder. Havanın karşı koymasını azaltan biçimler arar. Aynı inceleme çok hızlı giden yarış otomobillerinde de söz konusudur. Onların da havaya az karşı koymaları istendiği için biçimleri diğer otomobillerden değişiktir.

Bunlardan başka uçağı aşağı doğru çeken yerçekimi kuvvetini küçültmek için uçakları mümkün olduğu kadar hafif yapmak gerektir. Ancak uçaklar, sürtünme kuvvetini doğuran hava çarpmalarına da dayanacak kadar sağlam olmalıdır. Uçak yapımında bu iki şartı sağlayan cisimler kullanılır. Bugün uçakların gövdeleri ve birçok parçaları alüminyumdan, alüminyum alaşımlarından yapılır.